Νέα μαθηματική θεωρία αποκαλύπτει τη «φύση» των αριθμών

Βρέθηκε η λύση σε ένα πρόβλημα που ενώ μοιάζει με μαθηματικό παιχνίδι για μικρά παιδιά, ωστόσο απασχόλησε τα μεγαλύτερα μαθηματικά μυαλά.

Για αιώνες, κάποια από τα μεγαλύτερα μαθηματικά μυαλά είχαν προσπαθήσει να κατανοήσουν την κατάτμηση των αριθμών (partition numbers), που αποτελεί τη βάση για το άθροισμα και την καταμέτρηση. Πολλοί μαθηματικοί πρόσθεταν συνεχώς σημαντικά κομμάτια στο παζλ, αλλά όλοι τους ήταν αρκετά μακριά από τα να παρουσιάζουν μια ολοκληρωμένη εξήγηση. Αντ’ αυτού το έργο τους συνήθως δημιουργούσε περισσότερα ερωτήματα. Ο μαθηματικός Ken Ono και η ερευνητική του ομάδα ανακοίνωσε ότι είναι σε θέση να δώσει απάντηση σ’ αυτό το παλαιό ερώτημα.

Ο κος Ono και η ομάδα του ανακάλυψαν ότι η κατάτμηση των αριθμών συμπεριφέρεται όπως τα φρακτάλ. Έχουν «ξεκλειδώσει» τις ιδιότητες της διαμέρισης και έχουν κατασκευάσει μια μαθηματική θεωρία η οποία «βλέπει» την απείρως επαναληπτική κατασκευή τους. Έχουν επινοήσει τον πρώτο πεπερασμένο τύπο για τον υπολογισμό των χωρισμάτων οποιουδήποτε αριθμού. Αρχικά απέδειξαν ότι ο αριθμός των κατατμήσεων ενός πρώτου αριθμού είναι ένα φρακτάλ, ενώ στη συνέχεια βρήκαν και τη συναρτησιακή λύση του προβλήματος.

Η μελέτη χρηματοδοτήθηκε από το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών (AIM) και το Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών. Στόχος του ΑΙΜ είναι να απαντηθούν πολλά από τα άλυτα μαθηματικά προβλήματα που έχουν παραμείνει για αιώνες. «Ο Ken Ono και η ομάδα του πέτυχε μια σημαντική ανακάλυψη στον συγκεκριμένο χώρο των μαθηματικών» ανέφερε χαρακτηριστικά ο George Andrews, καθηγητής στα Πανεπιστήμιο της Πενσυλβανία και πρόεδρος της Αμερικανικής Μαθηματικής Κοινότητας.

«Παιχνιδάκι»

Στην επιφάνειά του το πρόβλημα της κατάτμησης των αριθμών φαίνεται να είναι παιχνίδι για μικρά παιδιά. Μια κατάτμηση ενός αριθμού αποτελεί μια ακολουθία θετικών ακεραίων που το άθροισμά τους μας δίνει τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1, Έτσι λέμε ότι υπάρχουν 5 κατατμήσεις του αριθμού 4.

Ακούγεται αρκετά απλό, αλλά οι κατατμήσεις αυξάνονται σημαντικά καθώς εξετάζουμε μεγαλύτερους αριθμούς. Οι κατατμήσεις για τον αριθμό 10 είναι 42, για το 100 είναι περισσότερες από 190.000.000. «Οι κατατμήσεις είναι τρελές ακολουθίες ακέραιων που φτάνουν μέχρι το άπειρο» αναφέρει ο κος Ono.  Αυτή η πρόκληση έχει συναρπάσει κατά καιρούς σημαντικά μαθηματικά μυαλά. Εξ ορισμού οι κατατμήσεις αριθμών είναι βασανιστικά απλές. Αλλά μέχρι και πριν από την ανακάλυψη της ομάδας του κου Ono κανείς δεν ήταν σε θέση να ξεκλειδώσει την ακολουθία με την οποία «βαδίζουν».

Το έργο του μαθηματικού Λέοναρντ Όιλερ, το 18^ο αιώνα, οδήγησε στην πρώτη αναδρομική τεχνική για τον υπολογισμό των αριθμό των κατατμήσεων. Η μέθοδος ήταν αργή αλλά και ανεφάρμοστη στους μεγάλους αριθμούς. Για τα επόμενα 150 χρόνια, η συγκεκριμένη μέθοδος εφαρμόστηκε για τον υπολογισμό των κατατμήσεων των 200 πρώτον αριθμών. «Στο μαθηματικό σύμπαν, αυτό είναι σαν να μην είσαι σε θέση να γνωρίζεις τι υπάρχει πέραν του πλανήτη Άρη», αναφέρει ο κος Ono.

Μαθηματικό τηλεσκόπιο

Στις αρχές του 20^ου αιώνα, οι Srinivasa Ramanujan και G. H. Hardy εφηύραν τη μέθοδο του κύκλου, η οποία τους επέτρεπε να βρίσκουν προσεγγιστικά την απάντηση για τους αριθμούς πέραν του 200. Εκεί ουσιαστικά εγκατέλειψαν την προσπάθειά τους να βρουν ακριβές λύσεις και καταστάλαξαν στην προσεγγιστική αυτή μέθοδο. «Αυτό όμως είναι σαν ο Γαλιλαίος να εφηύρε το τηλεσκόπιο, αλλά η εικόνα του να είναι θολή» σημείωσε χαρακτηριστικά ο κος Ono.

Ο Ramanujan επίσης επεσήμανε κάποια «περίεργα» σχήματα – ακολουθίες στους αριθμούς αυτούς. Το 1919 έγραψε: «Φαίνεται να υπάρχουν αντιστοιχίες οι οποίες είναι δυνάμεις των 5, 7 ή 11 .. ενώ καμιά άλλη ιδιότητα δεν χρησιμοποιεί μόνο τους συγκεκριμένους τρεις πρώτους αριθμούς. Ο θρυλικός Ινδός μαθηματικός πέθανε σε ηλικία 32 ετών πριν προλάβει να εξηγήσει τι εννοούσε με αυτό το μυστηριώδες απόσπασμα γνωστό και ως Ramanujan's congruences.

Βλέποντας το δάσος

Η ομάδα του Ono «πάλεψε με το συγκεκριμένο πρόβλημα για μήνες, «ότι προσπαθούσαμε δεν λειτουργούσε» ανέφερε χαρακτηριστικά. Η προσέγγιση που θα οδηγούσε τελικά στη λύση βρέθηκε κάποια στιγμή που είχαν πάει πεζοπορία. Καθώς περνούσαν ανάμεσα από τα δέντρα του δάσους παρατήρησαν μοτίβα στις διακλαδώσεις τους. Τότε ήταν που συνειδητοποίησαν ότι και οι «διακλαδώσεις» των αριθμών μπορεί να αποτελούν φρακτάλ.

Ο όρος φρακτάλ επινοήθηκε το 1980 από τον Benoit Mandelbrot, με στόχο να περιγράψει αυτό που έμοιαζε με παρατυπίες στη γεωμετρία των φυσικών μορφών. Όσο πιο πολύ ο θεατής κάνει «ζουμ» στη μορφή τόσο παρατηρεί ότι τελικά κάθε άλλο από παρατυπία είναι, και ότι στην πραγματικότητα αποτελείται από επανάληψη όμοιων σχεδίων. Δεν είναι από μόνα τους τα φρακτάλ όμορφα, έχουν τεράστια πρακτική εφαρμογή σε διάφορους τομείς όπως στην τέχνη μέχρι και την ιατρική.

Η πεζοπορία τους ήταν μια αφορμή για να πυροδοτήσει μια θεωρία που αποκάλυπτε μια νέα κατηγορία φρακτάλ, η οποία θα εξάλειφε το πρόβλημα του απείρου. «Είναι σαν να μην χρειάζεται να βλέπετε όλα τα αστέρια στο σύμπαν, καθώς το μοτίβο τους είναι απείρως επαναλαμβανόμενο».

Το μυστηριώδες απόσπασμα του Ramanujan μπορεί να εξηγηθεί από τη θεωρία των φρακτάλ. Η ομάδα του Ono έδειξε επίσης ότι οι ιδιότητες της διαιρετότητας των κατατμήσεων των αριθμών αποτελούν φρακτάλ για κάθε πρώτο αριθμό. Οι ακολουθίες είναι τελικώς περιοδικές καθώς επαναλαμβάνονται ξανά και ξανά μέσα σε συγκεκριμένα διαστήματα. Είναι σαν να ζουμάρεις στο σύνολο Mandelbrot, το πιο διάσημο φρακτάλ.

Η τελική λύση

Αλλά αυτή η προσέγγιση από μόνη της δεν ήταν αρκετή για να δώσει την ακρινή λύση. Η ομάδα, αποφασισμένη να προχωρήσει μέχρι το τέλος απέδειξαν μια φόρμουλα η οποία απαιτεί μόλις πεπερασμένους απλούς αριθμούς για να υπολογίσει τις κατατμήσεις οποιουδήποτε και μεγάλου αριθμού.

Για περισσότερες πληροφορίες εδώ.